图形变换、辅助线与几何最值

从题目条件出发，学习把分散的线段搬到一起、把折线拉直、找出动点的轨迹，以及用面积比较线段。先看具体构造为什么有效，再练习选择方法；求最值时，既要找到上界或下界，也要检查取等位置是否满足题目限制。

作对称、作平移：把距离和差变得好比较

终点在另一条边上：一次对称后找垂线

一定点到一边再到另一边
只作一次对称再用垂线段最短求 AP+PQ 的最小值

两边各有一个动点：两次对称求最小周长

角内一点与两边动点的周长最小
两边各作一次对称把周长化成折线再拉直

中间一段长度固定：先平移，再作对称

定长线段到两定点距离和最小
平移再对称求 AP+PQ+QB 的最小值

距离差求最大：先看同侧还是异侧

直线上点到两定点距离差最大值
用三边关系求 PA−PB 最大值异侧先作对称点

作旋转：把分散的条件放到一起

先认对应点、旋转中心和旋转角

识别绕同一点旋转的两个三角形
拖动△OCD 看转向与∠AOC ∠BOD的关系

正方形里的垂直：先找等角，再证线段相等

正方形中互相垂直的截线相等
拖动 M 垂直换来一对等角凑成全等得 BM=AN

45° 遇上正方形：旋转后凑出直角三角形

正方形对角线上的两点
∠MAN=45° 旋转 △ABM 得 BM2+DN2=MN2

正方形外的直角：旋转后把线段接成直线

正方形中PB+PD=√2PA
∠BPD=90°时绕顶点旋转90° 把PB PD接成一条线

到三个顶点的距离和：旋转 60° 寻找最小值

三角形距离和最小点
拖动点并旋转图形寻找三段距离和的最小值

找轨迹：看出隐藏的圆和整条轨迹的变换

定长或直角条件：先找圆，再比较远近

到定点定长或对定线段张直角
两种条件都把动点锁在圆上再求最值

对定线段张 60° 角：在圆弧上找离直线最远的点

同弧所对的圆周角相等
∠APB=60° 时 P 在一段弧上弧中点离 AB 最远

两点保持固定旋转关系：把整条轨迹一起转过去

主动点与从动点轨迹整体旋转
拖动 P Q 的轨迹是 P 的轨迹绕 O 旋转 60°

距离前有系数：把倍数换成一条线段

动点在直线上：用正弦把系数化成垂直距离

带系数的距离和PA+k·PB
把k看成锐角正弦 k·PB化为垂线段再查下界能否取到

动点在圆上：用相似把带系数的距离换掉

动点在圆上时的PA+k·PB
用相似三角形把 1⁄2PB 换成 PB′ 再用线段最短求最小值

添线分面积：在线段与面积之间换个角度

三角形同高：面积比就是底边比

同高三角形面积比等于底之比
拖动 D 比较面积比与底之比再看三角形内一点 O

斜放的三角形：添一条竖直线算面积

坐标系里斜放的三角形面积
过 C 作竖直线分两块面积=1⁄2×铅垂高×水平宽

角平分线分边：同一对三角形换两种底来算

三角形角平分线分对边成比例
拖动顶点 A 用面积比说明 BD DC=AB AC

回到题目条件：练习选择方法

证明线段和差：该倍长、截补，还是旋转

证明线段和差时该添哪条辅助线
看条件的形状选辅助线倍长中线截长补短旋转

求几何最值：先看动点限制和目标中的线段

求几何最值先看动点被什么限制
四道最值小题先判断 P 的限制和线段条数再选方法

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